Четырнадцатая проблема Гильберта
Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.[1]
Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример[1][2] . Им была построена[3] подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена[1] Стейнбергом в его работе[4] 1997 года.
Формулировки
Исходная формулировка Гильберта
14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.
<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>
Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций [math]\displaystyle{ X_1,...,X_m }[/math] от переменных [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left. \begin{array}{c} X_1 = f_1(x_1,\dots,x_n)\\ X_2 = f_2(x_1,\dots,x_n)\\ \vdots\\ X_m = f_m(x_1,\dots,x_n) \end{array} \right\} \qquad \qquad (S) }[/math]
Всякая целая рациональная связь между [math]\displaystyle{ X_1,\dots,X_m }[/math], если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math]. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от [math]\displaystyle{ X_1,\dots,X_m }[/math], которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от [math]\displaystyle{ x_1,\dots, x_n }[/math]. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от [math]\displaystyle{ X_1,\dots,X_m }[/math]. <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от [math]\displaystyle{ X_1,\dots,X_m }[/math], через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>[5]
Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры [math]\displaystyle{ K\bigcap k[x_1,\dots,x_n] }[/math], где [math]\displaystyle{ K }[/math] — порождённое [math]\displaystyle{ X_1,\dots, X_n }[/math] поле. Поскольку всякое промежуточное поле [math]\displaystyle{ k\subset K\subset k(x_1,\dots,x_n) }[/math] является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:
Пусть [math]\displaystyle{ K\subset k[x_1,\dots,x_n] }[/math] — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра [math]\displaystyle{ K\bigcap k[x_1,\dots,x_n] }[/math] конечно порождена?[1]
Конечная порождённость алгебры инвариантов
 | Этот раздел статьи ещё не написан. |
Литература
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Записки курса И.Аржанцева «Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта»
- ↑ Дьёдонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. - М., Мир, 1974. - c. 74-81
- ↑ M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.
- ↑ R. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384.
- ↑ Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 45—47. — 240 с. — 10 700 экз. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 27 марта 2010. Архивировано 17 октября 2011 года.
- И. В. Аржанцев. Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта. — М.: МЦНМО, 2009. — 64 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-491-0.
- Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. Архивная копия от 17 октября 2011 на Wayback Machine
